Matemáticos de Santiago e Suiza resolven un enigma aberto desde 1965: atopan novas xeometrías de Einstein

Dous investigadores, Alberto Rodríguez Vázquez, da USC, e Gonzalo Cao Labora, da École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL), resolveron un enigma xeométrico que fora formulado en 1965 polo francés Marcel Berger e que, segundo explican nun comunicado, resistíase desde hai seis décadas. Ambos están vinculados ao Centro de Investigación e Tecnoloxía Matemática de Galicia (CITMAga).

O traballo, titulado Inhomogeneous Einstein metrics on complex projective spaces, presenta as primeiras xeometrías de Einstein non homoxéneas sobre os espazos proxectivos complexos, un dos espazos fundamentais das matemáticas. Con este resultado, os investigadores dan resposta afirmativa á pregunta formulada por Berger sobre a existencia doutras xeometrías de Einstein nestes espazos, en concreto nas dimensións pares n = 4 e n = 6.

En matemáticas, un mesmo espazo pode admitir diferentes xeometrías ou métricas, é dicir, distintas maneiras de medir distancias e ángulos. Entre elas están as chamadas métricas de Einstein, especialmente relevantes porque a teoría da relatividade xeral establece que o espazo-tempo do universo debe posuír unha destas métricas.

O espazo proxectivo complexo ℂℙⁿ ocupa un lugar central na xeometría e ten tamén aplicacións actuais que chegan á computación cuántica. Sobre este espazo coñecíase desde hai un século unha xeometría de Einstein homoxénea, a chamada métrica de Fubini-Study. En 1965, Berger formulou a pregunta de se podían existir outras xeometrías de Einstein sobre ℂℙⁿ. Nas dimensións impares, Wolfgang Ziller atopou unha segunda xeometría nos anos oitenta, pero as dimensións pares resistíronse durante décadas e a de Fubini-Study continuaba sendo a única coñecida.

Rodríguez Vázquez e Cao Labora demostran agora que existen novas xeometrías de Einstein sobre ℂℙⁿ para dimensións n entre 3 e 7. A diferenza das xa coñecidas, estas son non homoxéneas, o que significa que, aínda que cumpren as ecuacións de Einstein, non se comportan do mesmo xeito en todos os puntos do espazo. Os investigadores explican esta diferenza comparándoa coa que existe «entre un ovo e unha esfera perfecta».

O resultado ten especial relevancia nas dimensións pares 4 e 6, onde supón a primeira resposta afirmativa á pregunta de Berger. Neses casos non se coñecía ningunha nova métrica de Einstein desde os traballos de Fubini e Study de 1904 e 1905.

Unha demostración matemática coa axuda do ordenador

Para chegar a esta conclusión, os investigadores tiveron que afrontar unhas ecuacións en derivadas parciais moi complicadas. Utilizaron unha simetría moi grande do espazo para reducir o problema a unha ecuación máis sinxela e, finalmente, comprobaron que dúas pezas construídas desde dous extremos do espazo encaixaban exactamente no centro, como nun quebracabezas.

Esta última comprobación realizouse coa axuda dun ordenador mediante unha computación validada. Non se trata dunha simulación destinada a suxerir que existe unha solución, senón dun cálculo que permite demostrar a súa existencia con rigor matemático. O método ten en conta os erros que se producen ao traballar con números nun ordenador: en lugar de ignorar o redondeo dos decimais, en cada paso utiliza un intervalo que contén con garantía o valor exacto. Se o intervalo final é suficientemente estreito, a conclusión queda demostrada.

Os investigadores sitúan este traballo nun momento no que as matemáticas están a combinar cada vez máis ideas abstractas con ferramentas computacionais rigorosas. Tamén destacan o auxe recente das demostracións asistidas por intelixencia artificial, un fenómeno que, segundo explican, está a transformar a práctica matemática e que tivo unha presenza destacada no Congreso Internacional de Matemáticas celebrado hai menos dun mes en Filadelfia.

Os autores consideran que a disciplina está a entrar nunha nova etapa na que a computación e a intelixencia artificial poden ampliar considerablemente o que os matemáticos e matemáticas son capaces de explorar. Con todo, subliñan que «detectar un patrón ou suxerir unha resposta non é o mesmo que demostrala» e que formular os problemas, comprender as estruturas e distinguir a evidencia da proba segue sendo, por agora, un traballo humano.

Neste contexto, defenden a necesidade de aumentar o investimento en matemáticas e na formación de novo persoal investigador, especialmente polo papel que esta disciplina desempeña na ciencia e na tecnoloxía. O propio traballo lembra que resultados matemáticos abstractos poden acabar tendo aplicacións décadas despois, como ocorre co GPS, baseado na xeometría diferencial e na relatividade xeral; coa compresión de audio e imaxe en formatos como MP3 e JPEG, relacionada coa análise de Fourier; coa seguridade das transferencias bancarias, que se apoia na teoría de números e nas curvas elípticas; ou coa reconstrución de imaxes médicas mediante a transformada de Radon.

O resultado de Rodríguez Vázquez e Cao Labora enmárcase así no traballo do CITMAga e na tradición de investigación en xeometría diferencial existente en Santiago de Compostela, unha contorna que, segundo os autores, contribuíu de forma notable a este avance.